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2で割り切れない整数のことを、奇数 (きすう) という。逆に、2で割り切れる整数のことは偶数 (ぐうすう) という。-15, -3, 1, 7, 19などは全て奇数である。

10進法では、1の位が1, 3, 5, 7, 9である数は奇数である。2進法では、2⁰の位(すなわち1の位)が1ならば奇数で、0ならば偶数である。もっと一般にn進法(ただしnは正の偶数)において、ある数が偶数であるか奇数であるかは、1の位(n⁰の位)を見るだけで判別できる。

偶数と奇数は、位数が2の体の例を与える。

◆名称の由来

「奇」という漢字には「半端な」という意味がある。おそらくそれによったものであろう。

◆奇数の数学的性質

・偶数と奇数の和、差はともに奇数である。奇数と奇数の積もまた奇数である。

・負の実数の奇数乗は負の実数になる。

・2以外の全ての素数は奇数である。つまり3以上の素数は全て奇数でありそれらを奇素数という。

・フィボナッチ数のうち奇数であるのは3n-2番目と3n-1番目のフィボナッチ数である。( n は自然数)

・三角数のうち奇数であるのは4n-3番目と4n-2番目の三角数のみである。( n は自然数)

・四角数のうち奇数であるのは2n-1番目の四角数のみである。( n は自然数)

・最小の正の奇数である1からn番目の正の奇数(=2n-1)までの全ての奇数を足し合わせるとn番目の平方数(四角数)に等しくなる。( n は自然数)

・数論的関数を用いて、以下が知られている。 $\backslash sigma\_(N)/\; N\; =\; n/d$ ( n,d ∈ N ^* ) かつ ω(N)= k が成り立つような正の奇数Nは、より小さい。(ペース・ニールセン)

◆その他奇数に関すること

・中国思想においては奇数は聖数とされる。日本の文化の中にもその影響が強く見られる。(例:七福神、祭日が3月3日・5月5日・7月7日・9月9日とある、など)

・日本では奇数は割り切れないので縁起のいい数とされていて、特に数字の1, 3, 5, 7は好まれる傾向がある。しかし9は「苦」に通じるので奇数だが縁起の悪い数と受け取られることが多い。海外では7は「ラッキーセブン」として好まれるが、13は縁起が悪い数だと考えられている(例:13階段, 13日の金曜日)。

・1つの事案に関して判断する際に参加人数を奇数に設定する場合がある。これは多数決を取る際に賛否同数に分かれてしまわないようにするため。

・奇数が 2n-1 (nは自然数)で表されるとき過半数は n 以上である。

・野球のルールに用いられる数は奇数が多い(例:1チーム9人、1試合9イニング、3ストライクで1アウト、3アウトでチェンジなど)。

・鉄道で下りの列車番号は奇数が用いられる。

◆参考文献

・ Pace P. Nielsen, "[外部リンク] An upper bound for odd perfect numbers," [外部リンク] Integers, vol. 3 (2003), A14, 9 pp.

◆関連項目

・数秘術

・自然数

・整数

・偶数

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